Oleg А. Chagin (olegchagin) wrote,
Oleg А. Chagin
olegchagin

Categories:

Классическая механика не подчиняется принципу детерминизма

В комментах к посту софорумника sly2m https://cosmos.

dirty.ru/pochemu–vremia–techet–vpered–na–paltsakh–tm–1025022/#new возникла локальная дискуссия, непосредственно несвязанная с темой поста.

Почитайте.

Она была вызвана моей фразой (см. заголовок поста), которая у многих вызвала отторжение, несогласие, желание покрутить пальцем у виска в отношении меня и т.п.

Софорумник Zagza предложил мне объясниться подробнее.

==

Для начала определимся в терминах (акцентируя внимание на ту их часть, которая нужна для обсуждения заявленной проблематики).

Классическая механика — это наука о движении материальных точек.

Для описания движения вводятся ряд величин: радиус–вектор r, скорость v (производная радиус–вектора), ускорение w (производная скорости), сила (характеризует взаимодействия между частицами).

Постулируется второй закон Ньютона: w = F/m, где F — равнодействующая всех сил действующих на частицу; m — масса частицы.

Основной задачей механики называют нахождение положения частицы в разные моменты времени t.

Ньютон разработал методику решения основной задачи.

Схема Ньютона следующая.

1) зная силу находим начальные ускорения частиц

2) зная ускорения находим следующие координаты и скорости

3) рассчитываем новые ускорения

4) повторяем пункт 2

И далее по циклу.

В пункте 2 используются следующие формулы:

r = r0 + v0*t + w*t^2/2 (1)

v = v0 + w*t (2)

Здесь r0 — начальный радиус–вектор; v0 — начальная скорость.

Например, для трех частиц получаем в трехмерном случае систему из 18 дифференциальных уравнений.

Обращаю внимание на то, что использование формул (1) и (2) означает, что мы на каждом малом интервале времени (шаге интегрирования) считаем движение равнооускоренным. Обычно это обосновывают тем, что шаг по времени можно сделать достаточно малым.

Под детерминизмом понимается возможность задав начальные условия и закон взаимодействия узнать точно положения частицы в любой момент времени.

Закон взаимодействия (силу) будем считать заданным аналитически или же в виде бесконечной таблицы.

Под начальными условиями понимаются начальные координаты и скорости.

В некоторых случаях и системах удобно переформулировать задачу в терминах лагранжевой механики. Вводится, так называемая функция Лагранжа. В стандартном подходе при исследовании эволюции системы материальных точек предполагается, что функция Лагранжа зависит только от координат и скоростей. Это приводит, во–первых, к законам сохранения (для изолированной системы) импульса и энергии, а во–вторых, к тому, что при интегрировании уравнений движения на каждом шаге интегрирования достаточно ограничится лишь начальной координатой, скоростью и ускорением точки. Сказанное эквивалентно тому, что в разложении Тейлора для функциональной зависимости радиус–вектора от времени пренебрегают третьей и выше производными радиус–вектора. Обычно такое пренебрежение вполне разумно.

Но!

Использование формул (1) и (2) на втором шаге схемы Ньютона, а также функциональная зависимость функции Лагранжа только от координат и скоростей — не есть постулат классической механики.

Но что если полученное решение неустойчиво по Ляпунову, т. е. малое изменение параметров приводит к сильному изменению решения? Тогда пренебрежение высшими производными радиус–вектора не оправдано.

И лучше использовать на шаге 2 другие формулы:

r = r0 + v0*t + w*t^2/2 + b*t^3/6 (3)

v = v0 + w*t + w*t^2/2 (4)

или более сложные (подключая следующие члены ряда Тейлора). При этом может возникнуть иная траектория, чем та которая будет при использовании формул (1) и (2).

В бифуркационных случаях учет производной ускорения b может дать заметное изменение фазовых траекторий по сравнению со стандартным методом интегрирования. Это означает, что для нахождения эволюции системы недостаточно знать кинетические характеристики частиц только в один конкретный момент времени, а нужно знать характеристики и на предыдущем шаге интегрирования. Т. е. не выполняется принцип детерминизма.

Ведь мы то задали начальные условия (координаты и скорости) только в момент времени 0. А отбрасывать производную ускорения на каждом из шагов мы не обещали.

Получается, что мы задали координаты и скорость в начальный момент времени. Задали закон взаимодействие. Но получили разные траектории в зависимости от формул на шаге 2 схемы. А значит, нельзя говорить, о том, что мы точно знаем положение частицы. То есть нет детерминизма (в том смысле как мы его определили в этом посте).

Почеркну, что каждый из расчетов траекторий делаем сходящимся (уменьшение шага по времени не меняет результата). Различие в траекториях — это не вычислительная ошибка. Это следствие произвола в формулах пункта 2

Еще раз повторю.

Конкретная схема интегрирования не есть аксиома классической механики.

Поэтому подключение новых членов в разложении радиус–вектора может дать принципиально другие траектории.

Начальные условия + закон взаимодействия не дают однозначного ответа про траекторию. Это и означает отсутствие детерминизма.

Возникает некое множество (дискретное или непрерывное) возможных траекторий. Можно даже начать рассуждать о неком аналоге соотношения неопределенностей из квантовой механики.

Если же ввести ускорение в функцию Лагранжа то, тогда импульсы и энергии перестанут сохраняться в замкнутой системе. Возможно, что некоторые положения и утверждения возникшие в квантовой механике можно было бы формально ввести еще в рамках классической механики.

Subscribe
Comments for this post were disabled by the author